Persamaan Linear & Matriks
Persamaan linear dapat dinyatakan sebagai matriks. Misalnya persamaan:- 3x1 + 4x2 − 2 x3 = 5
- x1 − 5x2 + 2x3 = 7
- 2x1 + x2 − 3x3 = 9
Penyelesaian persamaan linier dalam bentuk matriks dapat dilakukan melalui beberapa cara, yaitu dengan eliminasi Gauss atau dapat juga dengan cara eliminasi Gauss-Jordan. Namun, suatu sistem persamaan linier dapat diselesaikan dengan eliminasi Gauss untuk mengubah bentuk matriks teraugmentasi ke dalam bentuk eselon-baris tanpa menyederhanakannya. Cara ini disebut dengan substitusi balik.
Sebuah sisitem persamaan linier dapat dikatakan homogen apabila mempunyai bentuk :
- a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = 0
- a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = 0
- am1x1 + am2x2 + ... + amnxn = 0
Penyelesaian Persamaan Linear dengan Matriks
- 1.) Di setiap baris, angka pertama selain 0 harus 1 (leading 1). [[Berkas:]]
- 2.) Jika ada baris yang semua elemennya nol, maka harus dikelompokkan di baris akhir dari matriks.
- 3.) Jika ada baris yang leading 1 maka leading 1 di bawahnya, angka 1-nya harus berada lebih kanan dari leading 1 di atasnya.
- 4.) Jika kolom yang memiliki leading 1 angka selain 1 adalah nol maka matriks tersebut disebut Eselon-baris tereduksi
Operasi Dalam Matriks
Dua buah matriks dikatakan sama apabila matriks-matriks tersebut mempunyai ordo yang sama dan setiap elemen yang seletak sama.
Jika A dan B adalah matriks yang mempunyai ordo sama, maka penjumlahan dari A + B adalah matriks hasil dari penjumlahan elemen A dan B yang seletak. Begitu pula dengan hasil selisihnya. Matriks yang mempunyai ordo berbeda tidak dapat dijumlahkan atau dikurangkan.
Jumlah dari k buah matriks A adalah suatu matriks yang berordo sama dengan A dan besar tiap elemennya adalah k kali elemen A yang seletak. Didefinisikan: Jika k sebarang skalar maka kA = A k adalah matriks yang diperoleh dari A dengan cara mengalikan setiap elemennya dengan k. Negatif dari A atau -A adalah matriks yang diperoleh dari A dengan cara mengalikan semua elemennya dengan -1. Untuk setiap A berlaku A + (-A) = 0. Hukum yang berlaku dalam penjumlahan dan pengurangan matriks :
- a.) A + B = B + A
- b.) A + ( B + C ) = ( A + B ) + C
- c.) k ( A + B ) = kA + kB = ( A + B ) k , k = skalar
[sunting] Matriks Balikan (Invers)
JIka A dan B matriks bujur sangkar sedemikian rupa sehingga A B = B A = I , maka B disebut balikan atau invers dari A dan dapat dituliskan B = A − 1 ( B sama dengan invers A ). Matriks B juga mempunyai invers yaitu A maka dapat dituliskan A = B − 1. Jika tidak ditemukan matriks B, maka A dikatakan matriks tunggal (singular). Jika matriks B dan C adalah invers dari A maka B = C.
Matriks A = dapat di-invers apabila ad - bc ≠ 0
Dengan Rumus =
Apabila A dan B adalah matriks seordo dan memiliki balikan maka AB dapat di-invers dan (AB) − 1 = B − 1A − 1
Contoh 1:
Matriks
-
- A = dan B =
-
- AB = = = I (matriks identitas)
-
- BA = = = I (matriks identitas)
Contoh 2:
Matriks
-
- A = dan B =
-
- AB = =
-
- BA = =
Contoh 3:
Matriks
-
- A =
Jawab:
Contoh 4:
Matriks
-
- A = , B = , AB =
-
- , ,
-
- =
Tidak ada komentar:
Posting Komentar